MAT-42

Equações Diferenciais Parciais

Requisito: MAT-32.


Objetivos da disciplina:

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Conteúdo:

  • Capítulo 1  - Modelamento matemático de problemas físicos

    • Desenvolvimento das principais equações da Física-Matemática: equações da onda, da membrana, do calor e de Laplace. Formulação de problemas físicos e condições auxiliares. Condições de Dirichlet, Neumann e Robin.


  • Capítulo 2  - Conceitos básicos

    • Definição e classificação de equações diferenciais parciais. Soluções de equações diferenciais parciais. Equação de Euler. Linearidade e superposição. Formas canônicas. Simplificação de equações diferenciais parciais a coeficientes constantes.


  • Capítulo 3  - A equação da onda: método de D’Alembert

    • Resolução da equação da onda homogênea para a corda infinita – primeiro problema de Cauchy: solução de D’Alembert. Problemas de valor de contorno inicial para a corda semi-infinita. Problema de valor de contorno inicial para a corda finita. Resolução da equação da onda não-homogênea para a corda infinita: segundo problema de Cauchy.


  • Capítulo 4  - Separação de variáveis e Séries de Fourier

    • Método de separação de variáveis. Séries de Fourier: fórmulas de Euler-Fourier. Séries de Fourier seno e cosseno. Representação complexa. Convergência da série de Fourier: condições de Dirichlet. Convergência uniforme e convergência na média.


  • Capítulo 5  - Aplicações do Método de Fourier

    • Problemas de valor inicial e de contorno: problema de vibração da corda e problema unidimensional de condução do calor. Problemas de contorno: problemas de Dirichlet e Neumann no retângulo e no círculo. Problemas não-homogêneos. Teoremas de existência e unicidade de solução.


  • Capítulo 6  - Problemas de contorno e Teoria de Sturm-Liouville

    • Funções ortogonais e problema geral de expansão. Desigualdade de Bessel e identidade de Parseval. Problemas de Sturm-Liouville: regular, periódico e singular.


  • Capítulo 7  - Funções especiais: Funções de Bessel e Polinômios de Legendre

    • Funções de Bessel de primeira e segunda espécie. Funções de Bessel modificadas. Propriedades das funções de Bessel. Função geradora. Problema de Sturm-Liouville singular e ortogonalidade das funções de Bessel. Polinômios de Legendre: função geradora. Propriedades dos polinômios de Legendre. Ortogonalidade dos polinômios de Legendre.


  • Capítulo 8  - Problemas espaciais: séries de Fourier-Bessel e Fourier-Legendre

    • Problemas envolvendo as funções de Bessel: resfriamento de um longo cilindro circular, fluxo de calor em regime permanente em um cilindro finito. Problemas envolvendo os polinômios de Legendre: distribuição de temperatura em regime permanente em uma esfera.


  • Capítulo 9  - Transformada de Fourier

    • Integral de Fourier. Transformada de Fourier. Condições de existência. Transformada de Fourier seno e cosseno. Propriedades da transformada de Fourier. Convolução. Aplicações da integral de Fourier.


Bibliografia:

  • Myint-U,T; Debnath, L. Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Prentice Hall, New Jersey, 1987.
  • Trim, D. W. Applied Partial Differential Equations. PWS-Kent Publishing Company, Boston, 1990.
  • Rossato, L. C. Equações Diferenciais Parciais, Apostila de MAT-42 do Departamento de Matemática do ITA, São José dos Campos, 2011.
  • Iorio, V. EDP: Um curso de graduação. CNPq/IMPA, Rio de Janeiro, 1991.
  • Churchill, R. V. Fourier Series and Boundary Value Problems. McGraw-Hill, New York,1963.
  • Boyce, W. E.; Di Prima, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora SA, Rio de Janeiro, 1994.
  • Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1993.